Projet Scientifique

Les Cyclones Tropicaux

Matthieu ATTALI   Xavier CHASSAGNEUX   Lucien DÉGARDIN   Rodolphe GOURSEAU   Xavier MISSERI   Pierre-Louis NAUD  Ngoc Anh VU

  

Table des matières

Chapitre 1  Simulation numérique

1.1  Modèle "shallow-water"

On considère une mince couche de fluide de profondeur H, incompressible (r=1), et non dissipatif. Le fluide est en rotation. Le paramètre de Coriolis f varie linéairement avec y selon la loi : f=f0+b y (plan b). L'échelle horizontale des mouvements auxquels on s'intéresse est grande devant l'échelle verticale. On supposera donc que le fluide est toujours en équilibre hydrostatique, et que le mouvement est barotrope (u et v ne dépendent pas de z). La pression atmosphérique au-dessus du fluide est négligeable [1].
Sous ces hypothèses, on a :
P/r=g (h(x,y,t)-z)     (1)
div(
U
)=0     (2)
D
U
D t
=
F
-
grad
(P/r)     (3)

Les conditions aux limites 1 en z=0 et en z=h(x,y,t) sont:
w(z=0)=0     (4)
w(z=h(x,y,t))=
h
t
+ u 
h
x
+v 
h
y
    (5)

En projetant l'équation d'Euler (3) sur ex et sur ey, et en utilisant la pression hydrostatique (1), on obtient :
u
t
-f v+g 
h
x
=0     (6)
v
t
+f u+g 
h
y
=0     (7)



En utilisant l'équation (2), et en intégrant par rapport à z, comme u et v ne dépendent pas de z, on a 2:
w=-(
u
x
+
v
y
) z     (8)

La condition en z=h donne alors:
D h
D t
+h Ñ u=
D h
D t
+h (
u
x
+
v
y
)=0     (9)

En dérivant les équations (6) et (7) respectivement par rapport à y et x, et en notant z= v/ x- u/ y, on obtient :
D (z +f)
D t
=-(z +f)(
u
x
+
v
y
)     (10)

Grâce aux équations (9) et (10), on déduit:
1
z +f
 
D (z +f)
D t
-
1
h
 
D (h)
D t
=0=
D (ln(
z+f
h
))
D t
    (11)

Donc, la vorticité potentielle q=(z+f)/h  est conservée dans le fluide.


On cherche les oscillations du système autour de l'état de repos. Donc on peut écrire h(x,y,t)=H+h(x,y,t), avec h« H, et on peut supposer que les vitesses u et v sont petites. On peut alors linéariser les équations (6), (7), et (9). On obtient 3 donc:
u
t
-f v+g 
h
x
=0     (12)

v
t
+f u+g 
h
y
=0     (13)

h
t
+H(
u
x
+
v
y
)=0     (14)

En faisant (13)/ t- (12)/ t, on a:
t
 (
u
y
-
v
x
)=-f (
u
x
+
v
y
)=
f
H
h
t
    (15)

Soit en intégrant 4:
u
y
-
v
x
=
f
H
h     (16)

Puis, en faisant (12)/ t+ (13)/ t, et en utilisant (16), on déduit l'équation d'évolution de h:
2 h
t2
+f2h=gH(
2 h
x2
+
2 h
y2
)     (17)

Si on recherche h sous la forme h=a e i(k.x-w t), on trouve la relation de dispersion suivante:
w2=f2+g H k2     (18)

D'où la vitesse de phase:
vf=
w
k
=
f2
k2
+g H
    (19)

et d'où la vitesse de groupe:
vg=
w
k
=
g H
f2
k2
+g H
    (20)

et on a : vg vf=g H et vg¹ vf. L'onde est donc dispersive.
Pour les petites longueurs d'ondes, on a:
vf~
f
k
    (21)
vg~
g H k
f
    (22)
et l'onde est dispersive.
Pour les grandes longueurs d'ondes, on a:
vf~g H     (23)
vg~g H     (24)
et l'onde est non dispersive.
En utilisant (12) et (13), on obtient 5:
u-
g
f
 
h
y
    (25)

v
g
f
 
h
x
    (26)



Ainsi, l'équation (10), grâce aux équations (25) et (26), en supposant z« f et f f0, et en posant c2=g H, devient:
t
(
2 h
x2
+
2 h
y2
-
f02
c2
h)+b
h
x
=0     (27)



Avec une solution sous forme d'onde plane monochromatique h=a e i(kx+ly-w t), la relation de dispersion s'écrit:

w=-
b k
k2+l2+
f02
c2
    (28)
La vitesse de phase correspondante est:
vf=-
b k
(k2+l2)(3/2)+
f02
c2
k2+l2
    (29)
où la direction ex semble particulière (vf k).

1.2  Paramètres de la simulation

Pour la simulation [2], on utilise des paramètres réglables dont les valeurs sont fixés par les ordres de grandeurs caractéristiques d'un cyclone, à savoir : Les paramètres que l'on doit donner au programme sont :
1
 imperméabilité en z=0 et surface matérielle en z=h(x,y,t)
2
 la condition en z=0 détermine la fonction de x et de y qui apparaît lors de l'intégration
3
 f est supposé constant
4
 la constante d'intégration est nulle car pas de variation de vitesses si pas de déformation
5
  en négligeant le terme de double dérivée temporelle

Références

[1]
J.Pedlosky, Geophysical Fluid Dynamics, 1982
[2]
J. Le Sommer, Programme réalisé sous Fortran, 2002

Index

  • eb, 1.2

  • équations de Barré Saint-Venant, 1.1

  • conditions aux limites, 1.1

  • diamètre du cyclone, 1.2

  • équations d'Euler, 3

  • hauteur du cyclone, 1.2

  • modèle eau peu profonde, voir modèle shallow-water
  • modèle shallow-water, 1.1

  • nombre de Burger, 1.2
  • nombre de Rossby, 1.2
  • ondes d'inertie gravité
    • vitesse de groupe, 20
    • vitesse de phase, 19
    • relation de dispersion, 18
    • équation d'onde, 17
  • ondes de Rossby
    • relation de dispersion, 28
    • vitesse de phase, 29
    • équation d'onde, 1.1


  • rayon de la Terre, 1.2

  • vitesse de l'écoulement, 1.2
  • vitesse de rotation de la Terre, 1.2
  • vorticité potentielle, 1.1

Ce document a été traduit de LATEX par HEVEA.